Рівняння вигляду \(ax^4 + bx^2 + c = 0,\) де \(a ≠ 0,\) називають біквадратним рівнянням.
Таке рівняння можна розв’язати, увівши нову змінну, тобто позначивши \(x^2 = t.\)
Тоді \(x^4 = (x2)^2 = t^2,\) а початкове рівняння набуде вигляду \(at^2 + bt + c = 0.\)
Такий метод розв’язування називають методом введення нової змінної, або методом заміни змінної.
Розглянемо приклади.
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x^4+3x^2-4=0.\)
Розв’язання
Зробимо заміну: \(x^2=t\geqslant{0},\) оскільки будь-яке число, піднесене до квадрата, тобто \(x^2,\) може набувати лише невід’ємних значень.
Отримаємо рівняння \(t^2+3t-4=0,\) коренями якого є числа \(t_1=1,\) \(t_2=-4.\)
Другий корінь \(t_2=-4<0\) не задовольняє умову \(t\geqslant{0},\) а тому це — сторонній корінь.
Повернемося до змінної \(x\) (виконаємо обернену заміну):
\(t=1,\) тоді \(x^2=1;\) \(\> x_{1,2}=\pm{1}.\)
Отже, коренями рівняння \(x^4+3x^2-4=0\) є числа \(-1\) і \(1.\)
Відповідь: \(-1; \> 1.\)
Приклад:
Розв’яжи рівняння \(x^4-13x^2+36=0.\)
Розв’язання
Заміна: \(x^2=t\geqslant{0}.\)
Отримаємо рівняння \(t^2-13t+36=0,\) коренями якого є числа \(t_1=4,\) \(t_2=9.\)
Обидва кореня задовольняють умову \(t\geqslant{0}.\)
Обернена заміна:
1) \(t_1=4,\) тоді \(x^2=4;\) \(\> x_{1,2}=\pm{2};\)
2) \(t_2=9,\) тоді \(x^2=9;\) \(\> x_{3,4}=\pm{3}.\)
Отже, коренями рівняння \(x^4-13x^2+36=0\) є числа \(\, -2;\) \(\, 2;\) \(-3 \,\) і \(\, 3.\)
Відповідь: \(-3; \> -2; \> \, 2; \> \, 3.\)