Справджується і твердження, обернене до теореми Вієта.
Теорема (обернена до теореми Вієта). Якщо числа \(m\) і \(n\) такі, що \(m+n=-p,\) а \(m·n=q,\) то вони є коренями рівняння \(x^2+px+q=0.\)
Доведення
За умовою \(m+n=-p,\) а \(m·n=q.\) Тому рівняння \(x^2+px+q=0\) можна записати так:
\(x^2-\left(m + n\right)x+mn=0.\)
Перевіримо, чи є число \(m\) коренем цього рівняння, для чого підставимо в ліву частину рівняння замість змінної \(x\) число \(m.\)
Одержимо:
\(m^2-(m+n)m+mn=\underline{m^2}-\underline{m^2}-\underline{\underline{mn}}+\underline{\underline{mn}}=0.\)
Отже, \(m\) — корінь цього рівняння.
Аналогічно підставимо в ліву частину рівняння замість змінної \(x\) число \(n.\)
Одержимо:
\(n^2-\left(m+n\right)n+mn=\underline{n^2}-\underline{\underline{mn}}-\underline{n^2}+\underline{\underline{mn}}=0.\)
Тобто \(n\) — також корінь цього рівняння.
Отже, \(m\) і \(n\) — корені рівняння \(x^2+px+q=0.\) Теорему доведено. \(\color{Brown}{\blacksquare}\)
Приклад:
Склади зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа \(–3\) і \(5.\)
Розв’язання
Шукане квадратне рівняння має вигляд \(x^2+px+q=0.\)
За теоремою, оберненою до теореми Вієта:
\(p=-(x_1+x_2)=-(-3+5)=-2;\)
\(q=x_1·x_2=-3·5=-15.\)
Отже, \(x^2-2x-15=0\) — шукане рівняння.
Відповідь: \(x^2-2x-15=0.\)