3. Застосування властивостей степеня із цілим показником до обчислень значень виразів

Ми вже знаємо властивості степеня із цілим показником.

Для будь-якого $a\ne{0}$, $b\ne{0}$ і будь-яких цілих $m$ і $n$:

$a^m·a^n=a^{m+n}$

$a^m:a^n=a^{m-n}$

$(a^m)^n=a^{mn}$

$(ab)^n=a^nb^n$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

Ці властивості можна застосовувати до обчислень значень виразів.

Розглянемо приклади.

Приклад:

Обчисліть

\frac{4^{6} \cdot 2^{- 26}}{8^{- 5}}

Розв’язання

Подамо числа 4 і 8 у вигляді степеня з основою 2 та використаємо властивості степеня:

\frac{4^{6} \cdot 2^{- 26}}{8^{- 5}} = \frac{{(2^{2})}^{6} \cdot 2^{- 26}}{{(2^{3})}^{- 5}} = \frac{2^{12} \cdot 2^{- 26}}{2^{- 15}} = \frac{2^{- 14}}{2^{- 15}} = 2^{- 14 - (- 15)} = 2^{1} = 2 .

Відповідь. $2$.

Приклад:

Обчисли значення виразу $\frac{2^{n - 1} \cdot 3^{3 n + 2}}{{(54)}^{n}}$ , де $n$ — ціле число.

Розв’язання

\frac{2^{n - 1} \cdot 3^{3 n + 2}}{{(54)}^{n}} = \frac{2^{n} \cdot 2^{- 1} \cdot 3^{3 n} \cdot 3^{2}}{{(2 \cdot 3^{3})}^{n}} = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} \cdot \frac{2^{n} \cdot 3^{3 n}}{2^{n} \cdot 3^{3 n}} = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} = 4 \frac{1}{2} .

Відповідь: $4\frac{1}{2}$.

Приклад:

Доведи, що для будь-яких цілих значень $m$ і $n$ вираз

\frac{2^{m - 1} \cdot 3^{n} + 2^{m} \cdot 3^{n - 1}}{2^{m} \cdot 3^{n}}

набуває одного й того самого значення.

Доведення

Спростимо заданий вираз:

\begin{array}{l} \frac{2^{m - 1} \cdot 3^{n} + 2^{m} \cdot 3^{n - 1}}{2^{m} \cdot 3^{n}} = \frac{2^{m} \cdot 2^{- 1} \cdot 3^{n} + 2^{m} \cdot 3^{n} \cdot 3^{- 1}}{2^{m} \cdot 3^{n}} = \frac{2^{m} \cdot 3^{n} (2^{- 1} + 3^{- 1})}{2^{m} \cdot 3^{n}} = \\ = 2^{- 1} + 3^{- 1} = {\frac{1}{2}}^{\ \cdot 3} + {\frac{1}{3}}^{\ \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} . \end{array}

Отже, для будь-яких цілих значень $m$ і $n$ значення заданого виразу набуває одного й того самого значення, яке дорівнює $\frac{5}{6}$, що й треба було довести.

Попередня теорія

Повернутись до теми

Наступне завдання

Відправити відгук

Знайшли помилку?

Розкажіть нам!

3. Застосування властивостей степеня із цілим показником до обчислень значень виразів

Теорія: