Із 7 класу нам відомі властивості степеня з натуральним показником. Вони є справедливими й для степеня з будь-яким цілим показником.
Для будь-якого \(a\ne{0}\), \(b\ne{0}\) і будь-яких цілих \(m\) і \(n\):
\(a^m·a^n=a^{m+n}\)
\(a^m:a^n=a^{m-n}\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)
\((ab)^n=a^nb^n\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)
Кожну із цих властивостей можна довести, використовуючи означення степеня із цілим від’ємним показником \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) та відомі нам властивості степеня з натуральним показником.
Доведемо, наприклад, властивість \(a^m·a^n=a^{m+n}\) для випадку, коли \(m\) і \(n\) — цілі від’ємні числа.
Нехай \(m=-p\), \(n=-q\), де \(p\) і \(q\) — натуральні числа. Тоді
Отже, якщо \(m\) і \(n\) — цілі від’ємні числа, то \(a^m·a^n=a^{m+n}\), що й треба було довести.
Якщо ж один з показників \(m\) або \(n\) — ціле від’ємне число, а інший — натуральне число або нуль, цю властивість доводять аналогічно.