Невизначеність ∞ - ∞ — урок. Алгебра, 10 клас.

Якщо потрібно обчислити границю

\lim_{x \to a} (g (x) - h (x))

, де функції

g (x)

h (x)

наближаються до нескінченності, (тобто, існує невизначеністьь

\infty - \infty

), цю різницю можна перетворити в невизначеність

\frac{0}{0}

таким чином (якщо неможливо обчислити границю більш простим способом):

\lim_{x \to a} (g (x) - h (x)) = \lim_{x \to a} (\frac{1}{\frac{1}{g}} - \frac{1}{\frac{1}{h}}) = \lim_{x \to a} \frac{(\frac{1}{h}) - (\frac{1}{g})}{(\frac{1}{g}) \cdot (\frac{1}{h})}

Приклад:

\begin{array}{l} \lim_{x \to 1} (\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) - \ln x}{\ln x \cdot (x - 1)} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1 - \ln x)'}{((x - 1) \ln x)'} = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{1}{x}}{\ln x + (x - 1) \cdot \frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x \ln x + x - 1} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)'}{(x \ln x + x - 1)'} = \\ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\ln x + 1 + 1} = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(x - \sin x)'}{(x \sin x)'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = (\frac{0}{0}) = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(\sin x + x \cos x)'} = \\ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = 0 \end{array}

Знайшли помилку?

5. Невизначеність ∞ - ∞